No instante adotado como origem dos tempos, o espaço de uma partícula vale $-14$ m e sua velocidade escalar é igual a $5$ m/s. Sua aceleração escalar é constante e igual a $2$ m/s² para qualquer instante $t$. Determine:
a) O instante em que a partícula passa pela origem dos espaços;
b) A velocidade escalar da partícula ao passar pela origem dos espaços.
Solução:
a) Segundo os dados da questão:
- $S_0 = -14$ m
- $v_0 = 5$ m/s
- $a = 2$ m/s²
A função horária do movimento é: $S = S_0 + v_0t + \dfrac{a}{2}t^2$, e substituindo os dados na função, temos:
$S = -14 +5t + \dfrac{2}{2}t^2 \Rightarrow S = -14 +5t + t^2$
Lembremos que na origem dos espaços, temos $S = 0$. Então:
$0 = -14 + 5t + t^2 \Rightarrow t^2 + 5t - 14 = 0$,
É uma equação do segundo grau e temos os coeficientes:
- $a = 1$ (não confundir esse "a" com aceleração)
- $b = 5$
- $c = -14$
Portanto, temos:
$\Delta = b^2 - 4ac \Rightarrow (5)^2 - 4(1)(-14) \Rightarrow 25 + 56 \Rightarrow 81$.
Então,
$t = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \Rightarrow t = \dfrac{-5 \pm \sqrt{81}}{2\cdot 1} \Rightarrow t = \dfrac{-5 \pm 9}{2}$
São gerados dois instantes:
$t' = \dfrac{-5 + 9}{2} = \dfrac{4}{2} \Rightarrow t' = 2$ s.
$t'' = \dfrac{-5 - 9}{2} = \dfrac{-14}{2} \Rightarrow t'' = -7$ s.
Esses resultados significam que o objeto passa pela origem 2 segundos após e 7 segundos antes do instante adotado como referência ou origem dos tempos.
b) A função horária da velocidade é: $v = v_0 + at$. Assim, substituindo os dados:
$v = 5 + 2t$
Os instantes encontrados no item anterior se referem à passagem da partícula na origem dos espaços. Então, iremos substituir os dois instantes na função horária da velocidade:
- Para $t = 2$ s: $v = 5 + 2 \cdot 2 \Rightarrow v = 5 + 4 \Rightarrow v = 9$ m/s.
- Para $t = -7$ s: $v = 5 + 2 \cdot (-7) \Rightarrow v = 5 - 14 \Rightarrow v = - 9$ m/s.
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