No instante adotado como origem dos tempos, o espaço de uma partícula vale -14 m e sua velocidade escalar é igual a 5 m/s. Sua aceleração escalar é constante e igual a 2 m/s² para qualquer instante t. Determine:
a) O instante em que a partícula passa pela origem dos espaços;
b) A velocidade escalar da partícula ao passar pela origem dos espaços.
Solução:
a) Segundo os dados da questão:
- S_0 = -14 m
- v_0 = 5 m/s
- a = 2 m/s²
A função horária do movimento é: S = S_0 + v_0t + \dfrac{a}{2}t^2, e substituindo os dados na função, temos:
S = -14 +5t + \dfrac{2}{2}t^2 \Rightarrow S = -14 +5t + t^2
Lembremos que na origem dos espaços, temos S = 0. Então:
0 = -14 + 5t + t^2 \Rightarrow t^2 + 5t - 14 = 0,
É uma equação do segundo grau e temos os coeficientes:
- a = 1 (não confundir esse "a" com aceleração)
- b = 5
- c = -14
Portanto, temos:
\Delta = b^2 - 4ac \Rightarrow (5)^2 - 4(1)(-14) \Rightarrow 25 + 56 \Rightarrow 81.
Então,
t = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \Rightarrow t = \dfrac{-5 \pm \sqrt{81}}{2\cdot 1} \Rightarrow t = \dfrac{-5 \pm 9}{2}
São gerados dois instantes:
t' = \dfrac{-5 + 9}{2} = \dfrac{4}{2} \Rightarrow t' = 2 s.
t'' = \dfrac{-5 - 9}{2} = \dfrac{-14}{2} \Rightarrow t'' = -7 s.
Esses resultados significam que o objeto passa pela origem 2 segundos após e 7 segundos antes do instante adotado como referência ou origem dos tempos.
b) A função horária da velocidade é: v = v_0 + at. Assim, substituindo os dados:
v = 5 + 2t
Os instantes encontrados no item anterior se referem à passagem da partícula na origem dos espaços. Então, iremos substituir os dois instantes na função horária da velocidade:
- Para t = 2 s: v = 5 + 2 \cdot 2 \Rightarrow v = 5 + 4 \Rightarrow v = 9 m/s.
- Para t = -7 s: v = 5 + 2 \cdot (-7) \Rightarrow v = 5 - 14 \Rightarrow v = - 9 m/s.
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