NÚMEROS COMPLEXOS

• Sejam $a$ e $b$ dois elementos, o símbolo $(a, b)$ representa um par ordenado; que é o conjunto $\{ a, b \}$ munido de uma ordem, onde $a$ é o primeiro elemento (chamado de abscissa), e $b$ é o segundo elemento (chamado de ordenada).
• Consideremos o conjunto de todos os pares ordenados do plano cartesiano, temos válidas as seguintes operações:
  • Igualdade: $(a, b) = (c, d) \Leftrightarrow a = c \wedge b = d$
  • Adição: $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
  • Multiplicação: $(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$
• Todo par ordenado da forma $(a, 0)$ pode ser identificado pelo número real $a$, isto é, $a = (a, 0), \, \forall a \in \mathbb{R}$.
• Chamamos unidade imaginária e indicamos por $i$, o número complexo $(0, 1)$, tal que: $$i^2=i\cdot i=(0,1)\cdot (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)=-1$$
• Seja $i$ a unidade imaginária, então: $$\{\begin{array}{llll}{i}^0=1& i^4=1& i^8=1& \dots \\ i^1=i& i^5=i& i^9=i& \dots \\ i^2=-1& i^6=-1& i^{10}=-1& \dots \\ i^3=-i& i^7=-i& i^{11}=-i& \dots \end{array}$$ Tome $n = 4q + r$, assim: $$i^n=i^{4q+r}=i^{4q}\cdot i^r=(i^4{)}^q\cdot i^r=1^q\cdot i^r=1\cdot i^r=i^r$$
• Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por $\mathbb{C}$, o conjunto de pares ordenados de números reais. $$z\in \mathbb{C}\iff z=(a,b),\text{sendo}a\in \mathbb{R}\wedge b\in \mathbb{R}$$
• Para todo número complexo $z = (a, b)$, temos: $$\begin{array}{rcl}z& =& (a,b)=(a,0)+(0,b)\\ & =& (a,0)+(b\cdot 0-0\cdot 1,b\cdot 1+0\cdot 0)\\ & =& (a,0)+(b,0)\cdot (0,1)\\ & =& a+bi\end{array}$$ Portanto, todo número complexo $z = (a, b)$ pode ser escrito na forma $z = a + bi$, chamada forma algébrica.
• O número real $a$ é chamado parte real de $z$ e o número real $b$ é chamado parte imaginária de $z$. Indica-se por: $$a=Re(z)\text{e}b=Im(z)$$
• Seja o número complexo $z = a + bi$, com $a, b \in \mathbb{R}$, então podemos definir dois números complexos:
  • inverso: $-z = -a - bi$
  • conjugado: $\overline{z} = a - bi$
• Sejam os números complexos $z_{1} = a + bi$ e $z_{2} = c + di$, com $a, b, c, d \in \mathbb{R}$, temos válidas as seguintes operações:
  • Igualdade: $z_{1} = z_{2} \Leftrightarrow a = c \wedge b = d$
  • Adição: $z_{1} + z_{2} = (a + c) + (b + d)i$
  • Subtração: $z_{1} - z_{2} = z_{1} + (-z_{2}) = (a - c) + (b - d)i$
  • Multiplicação: $z_{1} \cdot z_{2} = (ac - bd) + (ad + bc)i$
  • Divisão: $\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{z_{1}}{z_{2}} \cdot \dfrac{\overline{z_{2}}}{\overline{z_{2}}} = \left( \dfrac{ac + bd}{c^{2} + d^{2}} \right) + \left( \dfrac{bc - ad}{c^{2} + d^{2}} \right)i$
• Nas duas últimas operações supracitadas dos números complexos, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação dos números reais para facilitar os cálculos.
• Ao multiplicarmos um número complexo qualquer pelo seu conjugado, obtemos sempre um número real.
• Plano Complexo
  
  
  
  • O plano cartesiano determinado pelos eixos $0x$ e $0y$ é chamado Plano Complexo ou Plano de Argand-Gauss.
  • O eixo $0x$ é chamado de eixo real, indicado por $Re$.
  • O eixo $0y$ é chamado de eixo imaginário, indicado por $Im$.
  • O ponto $P$ recebe o nome de afixo ou imagem de $z$.
• Módulo $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{[Re(z){]}^2+[Im(z){]}^2}$$
• Argumento $$\cos \theta ={\displaystyle \frac{a}{|z|}}\text{e}\mathrm{sen}\theta ={\displaystyle \frac{b}{|z|}}$$
  • Se $0 \leqslant \theta < 2 \pi$ então $\theta$ será chamado argumento principal.
  • Qualquer outro ângulo congruente a $\theta$, da forma $\theta + k \cdot 2 \pi$, com $k \in \mathbb{Z}$, é chamado simplesmente de argumento de $z$.
• Dado um número complexo $z = a + bi$, não nulo, temos: $$z=a+bi=|z|\cos \theta +|z|\mathrm{sen}\theta i=|z|(\cos \theta +\mathrm{sen}\theta i)$$ Portanto, $z$ pode ser escrito na forma $z = |z|(\cos \theta + \mathrm{sen} \, \theta i)$, chamada forma trigométrica.
• Sejam os números complexos $z_{1} = |z_{1}| (\cos \theta_{1} + \mathrm{sen} \, \theta_{1} i)$ e $z_{2} = |z_{2}| (\cos \theta_{2} + \mathrm{sen} \, \theta_{2} i)$, temos válidas as seguintes operações:
  • Multiplicação: $z_{1} \cdot z_{2} = |z_{1}| \cdot |z_{2}|[\cos(\theta_{1} + \theta_{2}) + \mathrm{sen} (\theta_{1} + \theta_{2})i]$
  • Divisão: $\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{|z_{1}|}{|z_{2}|} \cdot [\cos (\theta_{1} - \theta_{2}) + \mathrm{sen} (\theta_{1} - \theta_{2})i]$
• As operações supracitadas podem ser generalizadas para $n$ números complexos $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ em sua forma trigonométrica.
• 1ª Fórmula de De Moivré
  Dados o número complexo $z = |z|(\cos \theta + \mathrm{sen} \, \theta i)$ não nulo e $n \in \mathbb{N}$, temos: $$z^n=|z{|}^n\cdot [\cos (n\theta )+\mathrm{sen}(n\theta )i]$$
• 2ª Fórmula de De Moivré
  Dados o número complexo $z = |z|(\cos \theta + \mathrm{sen} \, \theta i)$ não nulo e $n \in \mathbb{N}$ com $n \geqslant 2$, então existem $n$ raízes enézimas de $z$ que são da forma: $$z_k=\sqrt[n]{|z|}\cdot [\cos ({\displaystyle \frac{\theta }{n}}+k\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{n}})+\mathrm{sen}({\displaystyle \frac{\theta }{n}}+k\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{n}})i]$$