NÚMEROS COMPLEXOS

• Sejam $a$ e $b$ dois elementos, o símbolo $(a, b)$ representa um par ordenado; que é o conjunto $\{ a, b \}$ munido de uma ordem, onde $a$ é o primeiro elemento (chamado de abscissa), e $b$ é o segundo elemento (chamado de ordenada).
• Consideremos o conjunto de todos os pares ordenados do plano cartesiano, temos válidas as seguintes operações:
  • Igualdade: $(a, b) = (c, d) \Leftrightarrow a = c \wedge b = d$
  • Adição: $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
  • Multiplicação: $(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$
• Todo par ordenado da forma $(a, 0)$ pode ser identificado pelo número real $a$, isto é, $a = (a, 0), \, \forall a \in \mathbb{R}$.
• Chamamos unidade imaginária e indicamos por $i$, o número complexo $(0, 1)$, tal que: $$i^{2} = i \cdot i = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1, 0) = -1$$
• Seja $i$ a unidade imaginária, então: $$ \left\{ \begin{array}{llll} i^{0} = 1 & i^{4} = 1 & i^{8} = 1 & \ldots \\ i^{1} = i & i^{5} = i & i^{9} = i & \ldots \\ i^{2} = -1 & i^{6} = -1 & i^{10} = -1 & \ldots \\ i^{3} = -i & i^{7} = -i & i^{11} = -i & \ldots \end{array} \right. $$ Tome $n = 4q + r$, assim: $$i^{n} = i^{4q + r} = i^{4q} \cdot i^{r} = (i^{4})^{q} \cdot i^{r} = 1^{q} \cdot i^{r} = 1 \cdot i^{r} = i^{r}$$
• Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por $\mathbb{C}$, o conjunto de pares ordenados de números reais. $$z \in \mathbb{C} \Leftrightarrow z = (a, b), \, \mbox{sendo} \, a \in \mathbb{R} \wedge b \in \mathbb{R}$$
• Para todo número complexo $z = (a, b)$, temos: \begin{eqnarray*} z & = & (a, b) = (a, 0) + (0, b) \\ & = & (a, 0) + ( b \cdot 0 - 0 \cdot 1, b \cdot 1 + 0 \cdot 0) \\ & = & (a, 0) + (b, 0) \cdot (0, 1) \\ & = & a + bi \end{eqnarray*} Portanto, todo número complexo $z = (a, b)$ pode ser escrito na forma $z = a + bi$, chamada forma algébrica.
• O número real $a$ é chamado parte real de $z$ e o número real $b$ é chamado parte imaginária de $z$. Indica-se por: $$a = Re(z) \, \mbox{e} \, b = Im(z)$$
• Seja o número complexo $z = a + bi$, com $a, b \in \mathbb{R}$, então podemos definir dois números complexos:
  • inverso: $-z = -a - bi$
  • conjugado: $\overline{z} = a - bi$
• Sejam os números complexos $z_{1} = a + bi$ e $z_{2} = c + di$, com $a, b, c, d \in \mathbb{R}$, temos válidas as seguintes operações:
  • Igualdade: $z_{1} = z_{2} \Leftrightarrow a = c \wedge b = d$
  • Adição: $z_{1} + z_{2} = (a + c) + (b + d)i$
  • Subtração: $z_{1} - z_{2} = z_{1} + (-z_{2}) = (a - c) + (b - d)i$
  • Multiplicação: $z_{1} \cdot z_{2} = (ac - bd) + (ad + bc)i$
  • Divisão: $\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{z_{1}}{z_{2}} \cdot \dfrac{\overline{z_{2}}}{\overline{z_{2}}} = \left( \dfrac{ac + bd}{c^{2} + d^{2}} \right) + \left( \dfrac{bc - ad}{c^{2} + d^{2}} \right)i$
• Nas duas últimas operações supracitadas dos números complexos, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação dos números reais para facilitar os cálculos.
• Ao multiplicarmos um número complexo qualquer pelo seu conjugado, obtemos sempre um número real.
• Plano Complexo
  
  
  
  • O plano cartesiano determinado pelos eixos $0x$ e $0y$ é chamado Plano Complexo ou Plano de Argand-Gauss.
  • O eixo $0x$ é chamado de eixo real, indicado por $Re$.
  • O eixo $0y$ é chamado de eixo imaginário, indicado por $Im$.
  • O ponto $P$ recebe o nome de afixo ou imagem de $z$.
• Módulo $$|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{[Re(z)]^{2} + [Im(z)]^{2}}$$
• Argumento $$\cos \theta = \dfrac{a}{|z|} \quad \mbox{e} \quad \mathrm{sen} \, \theta = \dfrac{b}{|z|}$$
  • Se $0 \leqslant \theta < 2 \pi$ então $\theta$ será chamado argumento principal.
  • Qualquer outro ângulo congruente a $\theta$, da forma $\theta + k \cdot 2 \pi$, com $k \in \mathbb{Z}$, é chamado simplesmente de argumento de $z$.
• Dado um número complexo $z = a + bi$, não nulo, temos: $$z = a + bi = |z| \cos \theta + |z| \mathrm{sen} \, \theta i = |z|(\cos \theta + \mathrm{sen} \, \theta i)$$ Portanto, $z$ pode ser escrito na forma $z = |z|(\cos \theta + \mathrm{sen} \, \theta i)$, chamada forma trigométrica.
• Sejam os números complexos $z_{1} = |z_{1}| (\cos \theta_{1} + \mathrm{sen} \, \theta_{1} i)$ e $z_{2} = |z_{2}| (\cos \theta_{2} + \mathrm{sen} \, \theta_{2} i)$, temos válidas as seguintes operações:
  • Multiplicação: $z_{1} \cdot z_{2} = |z_{1}| \cdot |z_{2}|[\cos(\theta_{1} + \theta_{2}) + \mathrm{sen} (\theta_{1} + \theta_{2})i]$
  • Divisão: $\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{|z_{1}|}{|z_{2}|} \cdot [\cos (\theta_{1} - \theta_{2}) + \mathrm{sen} (\theta_{1} - \theta_{2})i]$
• As operações supracitadas podem ser generalizadas para $n$ números complexos $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ em sua forma trigonométrica.
• 1ª Fórmula de De Moivré
  Dados o número complexo $z = |z|(\cos \theta + \mathrm{sen} \, \theta i)$ não nulo e $n \in \mathbb{N}$, temos: $$z^{n} = |z|^{n} \cdot [\cos (n \theta) + \mathrm{sen} (n \theta)i]$$
• 2ª Fórmula de De Moivré
  Dados o número complexo $z = |z|(\cos \theta + \mathrm{sen} \, \theta i)$ não nulo e $n \in \mathbb{N}$ com $n \geqslant 2$, então existem $n$ raízes enézimas de $z$ que são da forma: $$z_{k} = \sqrt[n]{|z|} \cdot \left[ \cos \left( \dfrac{\theta}{n} + k \cdot \dfrac{2 \pi}{n} \right) + \mathrm{sen} \left( \dfrac{\theta}{n} + k \cdot \dfrac{2 \pi}{n} \right)i \right]$$