MATRIZES

  • Chama-se matriz de ordem $m$ por $n$ a um quadro de $m \times n$ elementos (números, polinômios, funções, etc) dispostos em linhas e colunas:
    • $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} $$
  • A matriz $A$ pode ser representada por $A = [a_{ij}]_{m \times n}$, de forma que $i \in \{ 1, 2, 3, \ldots, m \}$ e $j \in \{ 1, 2, 3, \ldots, n \}$.
  • Cada elemento $a_{ij}$ da matriz $A$ está afetado de dois índices, o primeiro indica a linha, enquanto que o segundo, indica a coluna, a que o elemento pertence.
  • Duas matrizes $A_{m \times n} = [a_{ij}]_{m \times n}$ e $B_{r \times s} = [b_{ij}]_{r \times s}$ são iguais, $A = B$, se, e somente se, $m = r$, $n = s$ e $a_{ij} = b_{ij}$.
  • Classificação das Matrizes
    • Matriz Retangular: matriz na qual $m \neq n$.
    • Matriz Quadrada: matriz na qual $m = n$.
      • Numa matriz quadrada, os elementos $a_{ij}$, em que $i = j$, constituem a diagonal principal.
      • Numa matriz quadrada, os elementos $a_{ij}$, em que $i + j = n + 1$, constituem a diagonal secundária.
    • Matriz Nula: matriz cujos elementos $a_{ij}$ são todos nulos.
    • Matriz Coluna: matriz de ordem $m \times 1$.
    • Matriz Linha: matriz de ordem $1 \times n$.
    • Matriz Diagonal: matriz quadrada que tem os elementos $a_{ij} = 0$ quando $i \neq j$.
    • Matriz Escalar: matriz diagonal que tem os elementos $a_{ij}$ iguais entre si para $i = j$.
    • Matriz Identidade: matriz escalar de qualquer ordem que tem os elementos $a_{ij} = 1$ para $i = j$.
    • Matriz Triangular Inferior: matriz quadrada que tem os elementos $a_{ij} = 0$ para $i < j$.
    • Matriz Triangular Superior: matriz quadrada que tem os elementos $a_{ij} = 0$ para $i > j$.
  • A adição de duas matrizes de mesma ordem, $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ e $B = [b_{ij}]_{m \times n}$, é uma matriz $m \times n$, denotada por $A + B$, tal que $A + B = [a_{ij} + b_{ij}]_{m \times n}$.
  • A diferença de duas matrizes de mesma ordem, $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ e $B = [b_{ij}]_{m \times n}$ é uma matriz $m \times n$, denotada por $A - B$, tal que $A - B = [a_{ij} - b_{ij}]_{m \times n}$.
  • Propriedades da Adição de Matrizes.
    • $A + B = B + A$.
    • $A + (B + C) = (A + B) + C$.
    • $A + 0 = 0 + A = A$.
    • $-A + A = A - A = 0$.
  • Sejam $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ uma matriz e $\lambda$ um escalar, o produto dessa matriz por esse escalar é uma matriz da forma $\lambda A = [\lambda a_{ij}]_{m \times n}$.
  • Propriedades do Produto de uma Matriz por um Escalar.
    • $\lambda (A + B) = \lambda A + \lambda B$.
    • $(\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A$.
    • $\lambda (\mu A) = (\lambda \mu) A$.
    • $1A = A$.
  • Seja a matriz $A = [a_{ij}]_{m \times n}$, obtém-se a matriz transposta de $A$, denotada por $A^{t}$, tal que $A^{t} = [b_{ij}]_{n \times m}$ sempre que $b_{ij} = a_{ji}$.
  • Propriedades da Matriz Transposta.
    • $(A^{t})^{t} = A$.
    • $(A + B)^{t} = A^{t} + B^{t}$.
    • $(\lambda A)^{t} = \lambda A^{t}$.
  • Uma matriz quadrada $A$ é dita simétrica se $A^{t} = A$.
  • Uma matriz quadrada $A$ é dita antissimétrica se $A^{t} = -A$.
  • Sejam as matrizes $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ e $B = [b_{rs}]_{n \times p}$, o produto das matrizes $A$ e $B$, denotada por $AB$, é a matriz $AB = [c_{uv}]_{m \times p}$ tal que:
    • $$c_{uv} = \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} a_{uk}b_{kv} = a_{u1}b_{1v} + \ldots + a_{un}b_{nv}$$
  • A condição para multiplicar a matriz $A_{m \times n}$ pela matriz $B_{n \times p}$, é que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B. Além disso, a matriz produto $AB$ será de ordem $m \times p$.
  • Propriedades do Produto de Matrizes.
    • Em geral, $AB \neq BA$.
    • $AI = IA = A$.
    • $A(B + C) = AB + AC$.
    • $(A + B)C = AC + BC$.
    • $(AB)C = A(BC)$.
    • $0A = 0$ e $A0 = 0$.
    • $(AB)^{t} = B^{t}A^{t}$.
  • Dada uma matriz quadrada $A$ de ordem $n$, chamamos de inversa de $A$ a uma matriz $B$ tal que $AB = BA = I$. Esta matriz $B$, caso exista, é única e indica-se por $A^{-1}$.
  • Propriedades da Matriz Inversa.
    • $(A^{-1})^{-1} = A$.
    • $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
  • Se não existir a inversa, dizemos que a matriz $A$ não é inversível ou uma matriz singular.
  • Uma matriz $A$ cuja inversa coincide com a transposta $(A^{-1} = A^{t})$ é denominada matriz ortogonal.
  • Uma matriz quadrada $A$ pode ser multiplicada $n$ vezes por si mesma. A matriz resultante dessas operações, e que se representa por $A^{n}$, é chamada de potência $n$ da matriz $A$.
  • Dada uma matriz quadrada $A$, diz-se que $A$ é uma matriz periódica se $A^{n} = A$, sendo $n \geqslant 2$, e o período de $A$ é igual a $n - 1$.
  • Dada uma matriz periódica $A$, tal que $A^{2} = A$, diz-se que $A$ é uma matriz idempotente.
  • Dada uma matriz quadrada $A$, se existir um número $p$, inteiro e positivo, tal que $A^{p} = 0$, diz-se que $A$ é uma matriz nilpotente.