DETERMINANTES

• Chama-se determinante da matriz quadrada $A$ de ordem $n$, e se indica por $\det A$, o número obtido a partir de operações entre os elementos de $A$.
• Representamos o determinante de uma matriz $A$ entre duas barras verticais $\vert A \vert$, que não têm o significado de módulo.
• Determinante de 1ª Ordem
$$A=[a_{11}]\Rightarrow |a_{11}|\Rightarrow detA=a_{11}$$
• Determinante de 2ª Ordem
$$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$$ $$\Downarrow$$

$$\Downarrow$$ $$detA=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$
• Determinante de 3ª Ordem
$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$$ $$\Downarrow$$

$$\Downarrow$$ $\det A = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} - a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}$
• Dada uma matriz quadrada $A = [a_{ij}]$ de ordem $n$, com $n \geqslant 2$, denominamos menor complementar relativo a um elemento $a_{ij}$ de $A$, e que se indica por $D_{ij}$, o determinante que se obtém quando se retira de $A$ a $i$-ésima linha e a $j$-ésima coluna.
• Dada uma matriz quadrada $A = [a_{ij}]$ de ordem $n$, com $n \geqslant 2$, denominamos cofator de $a_{ij}$, e que se indica por $c_{ij}$, o produto de $(-1)^{i + j}$ pelo menor complementar de $a_{ij}$, isto é: $c_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot D_{ij}$.
• Considere a matriz quadrada $A = [a_{ij}]$ de ordem $n$, com $n \geqslant 2$, o determinante de $A$ é igual a soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right]$$ $$\Downarrow$$ $$detA=a_{11}\cdot c_{11}+a_{12}\cdot c_{12}+\dots +a_{1n}\cdot c_{1n}$$
• Propriedades dos Determinantes
• Casos em que um determinante é igual a zero.
• Quando uma matriz possui uma linha (ou coluna) nula.
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=0$$
• Quando uma matriz possui duas linhas (ou colunas) iguais.
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=0$$
• Quando uma matriz tem duas linhas (ou colunas) proporcionais.
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\\ \lambda \cdot a_{i1}& \lambda \cdot a_{i2}& \dots & \lambda \cdot a_{in}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=0$$
• Transformações que não alteram um determinante.
• Um determinante não se altera quando se trocam ordenadamente as linhas pelas colunas.
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \dots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \dots & a_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$$
• Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (ou coluna) os correspondentes elementos de uma linha (ou coluna) paralela multiplicados por uma constante.
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{i1}+k\cdot a_{j1}& a_{i2}+k\cdot a_{j2}& \dots & a_{in}+k\cdot a_{jn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$$
• Transformações que alteram um determinante.
• Um determinante muda de sinal quando se trocam as posições de duas linhas (ou colunas) paralelas.
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}{a}_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\end{array}\right|$$
• Quando se multiplica uma linha (ou coluna) de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado por esse número.
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ k\cdot a_{i1}& k\cdot a_{i2}& \dots & k\cdot a_{in}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=k\cdot \left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$$
• Escrevendo uma linha (ou coluna) de uma matriz como soma de duas parcelas, então o determinante dessa matriz pode ser obtido através da soma dos determinantes das duas matrizes obtidas da matriz original pela substituição daquela linha (ou coluna) pela primeira e pela segunda parcela respectivamente.
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{i1}+b_{i1}& a_{i2}+b_{i2}& \dots & a_{in}+b_{in}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_{i1}& b_{i2}& \dots & b_{in}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$$
• Propriedades Complementares.
• O determinante de uma matriz triangular superior (ou trinagular inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}\cdot a_{22}\cdot \dots \cdot a_{nn}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \dots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$$
• Se $A$ e $B$ são matrizes quadradas de mesma ordem, então $\det (A \cdot B) = \det A \cdot \det B$.
• Caso uma matriz quadrada $A$ seja multiplicada por um número real $k$, seu determinante passa a ser multiplicado por $k^{n}$, onde $n$ é a ordem da matriz, isto é: $\det (kA) = k^{n} \cdot \det A$.